1) Опуклий чотирикутник розбито діагоналями на чотири трикутники, площі яких виражаються цілими числами. Довести, що добуток цих чотирьох чисел не може закінчуватись цифрами ...2010?
2) На лузі викопано яму, що має форму прямого паралелепіпеда. Основа ями — квадрат із стороною а, а глибина ями h. На дні ями, в центрі, забито кілок, до якого прив'зано козу на мотузці довжиною l. На який максимально можливій площі лугу може пастись коза?

С первой задачей справился/першу задачу «розкусив» orix
Вторую тоже полностью решил orix



( Читать дальше )

...412341234312431323432132432132432132324321321343213213243213234321313131313111112…

Два разных 100-цифровых числа записаны при помощи 40 единиц, 30 двоек, 20 троек и 10 четверок. Доказать, что эти числа не делятся одно на другое.

...432132432132431311142121421212212323212421343124312124312121242313243121324313243…

Разобрался denis; правильный ответ озвучил orix

[текст доступен после регистрации]
На уроке физкультуры в шеренгу построились 40 учеников. Тема урока: повороты налево и направо. Учитель физкультуры предложил следующее. Каждую секунду по свистку будет звучать команда поворот. Первый раз ученики повернули как попало, кто налево, кто направо. Но затем по команде учителя поворачиваются кругом только те, кто оказался лицом к лицу друг с другом. И так далее. Урок закончится только тогда, когда некому будет поворачиваться.
Закончится ли урок физкультуры и если да, то в пределах какого времени?

Добавлю: тот же вопрос, только ученики построились по кругу.
Правильно помыслил Rainman906
Дал верный ответ Sluva

[текст доступен после регистрации]
Классический случай: из пункта А выехал Мотоциклист, а из пункта В — Велосипедист. Но, выехали они в разное время, правда, навстречу друг другу. К тому же, каждый со своей постоянной скоростью. Встретились они, как и полагается в пункте С. Поздоровались, развернулись и поехали восвояси (т.е. обратно). Приехали каждый в свои «родные» пункты, развернулись (кто раньше, кто позже) и поехали опять навстречу друг другу. Но теперь уже встретились в пункте D. Опять поздоровались, развернулись и покатили обратно. И так они катались ни много ни мало… 2011 раз. Где же встретились Мотоциклист и Велосипедист в 2011-й раз?

С решением справился denis

[текст доступен после регистрации]
Чемпионат страны по футболу проходит в два тура. По результатам турнирная таблица выглядит в форме арифметической прогрессии. Причем, последняя команда набрала 17 очков.
Сколько же всего команд принимало участие в турнире?
Для упрощения решения примем, что за победу 2 очка, ничью — по 1, поражение — 0.

Правильный ответ и исчерпывающее решение предложил НОВАК

[текст доступен после регистрации]
Три ученика Александр, Борис и Владимир сдают экзамены. Причем, перед экзаменами родители организовали им маленький призовой фонд. По результатам сдачи каждого экзамена им присуждаются места. За 1-е место приз a очков, за второе — b, за третье — c (a, b, c — натуральные числа, причем a > b > c).
Известно, что после всех экзаменов Александр набрал 22 очка, а Борис и Владимир — по 9 очков. Причем, Борис показал лучший результат по алгебре. А кто был вторым по литературе?

(Необоснованные угадывания не комментируются)

Разгадал Sluva

[текст доступен после регистрации]
В каждой клеточке доски размером 9х9 сидит жук. По сигналу каждый жук по диагонали переползает на соседнюю клетку. При этом может получиться, что в некоторых клетках окажется несколько жуков, а в некоторых — и вовсе ни одного. Найдите (и докажите) наименьшее возможное число свободных клеток.

Решил задачку denis

Мой дед Александр Александрович был замечательным человеком. Он прошел Великую отечественную, служил, работал, воспитал трех детей и многих своих внуков. Он очень любил математику, физику, проходил с внуками все школьные учебники. Дед отлично играл в шахматы, шашки, а также постоянно загадывал всевозможные задачки, головоломки. Он всегда говорил: «Знание — это сила!» И я все время вспоминал об этом, особенно в день его рождения.
И вот с днем его рождения связана интересная задачка.
Дед родился в далеком ABCD — м году. Как я говорил, он прожил долгую и интересную жизнь, не дожив (ВА+1) дней до своего ВА-летия. Причем, не стало его С-го числа D-го месяца. Так когда же родился мой дед?

сообразительность проявила seamew
Правильно назвал дату: ну почти правильно — Новак
от Мат-и-мата:
Дед родился по метрике 19 августа 1916 года. После февраля 1918 Россия перешла на Григорианский календарь (1-е февраля стало 14-м), поэтому день рождения у него «стал» 1 сентября.
Кстати, тогда же появился феномен «старый новый год».

Докажите, что 2^2010+1 — не простое число (ох, непростое-то число получится :)
PS Само число в ответе НЕ писать ;)

Пусть А — произвольное 2011-значное число, которое делится на «9». Все цифры числа А сложили и получили некое число В. Все цифры числа В сложили и получили некое число С. И, наконец, все цифры числа С сложили и получили число D. Найти D.
PS За доказательство дополнительный плюсик

Нашел число и убедительно доказал znaika