podumka

Алгебра-1

1) Пусть a, b, c, d — целые числа. Доказать, что выражение
[текст доступен после регистрации]
является квадратом некоторого целого числа.

2) Упростить выражение
[текст доступен после регистрации]

Задачку 1) «раскусил» orix
Выражение 2) упростил тоже orix

Комментарии (18)

RSS свернуть / развернуть
+
0
кому не скучно жонглировать переменными — милости прошу
avatar

Mat-i-mat

  • 07 декабря 2011, 16:44
+
+2
задача №1:
Выражение сводиться к виду:((a^2+b^2)-(a*c+b*d))^2
avatar

orix

  • 13 декабря 2011, 15:42
  • ↑
+
0
Возможно (пока не проверял), но это же не квадрат
avatar

Mat-i-mat

  • 13 декабря 2011, 17:15
  • ↑
+
0
сорри, скобки не так прочитал. Это квадрат — значит буду проверять
avatar

Mat-i-mat

  • 13 декабря 2011, 17:17
  • ↑
+
0
ДА! Молодец! Действительно сводится к такому виду.
avatar

Mat-i-mat

  • 13 декабря 2011, 17:33
  • ↑
+
0
Выражение во второй задаче не совсем совпадет с формулой (1+x^3n+x^6n), т.к. по этой формуле оно должно выглядеть так:
(1+1+1)*(1+x^3+x^6)*(1+x^6+x^12)*(1+x^9+x^18)*.....*(1+x^3n+x^6n)
Уточните плз условие.
avatar

orix

  • 28 декабря 2011, 15:35
  • ↑
+
0
Условие верно, в этом-то и изюминка задачи. Иначе простое преобразование получится
avatar

Mat-i-mat

  • 29 декабря 2011, 10:50
  • ↑
+
0
В условии отсутсвтует кусок выражения при n=2, а именно (1+x^6+x^12).
Тоесть n — только нечетные?
avatar

orix

  • 30 декабря 2011, 11:52
  • ↑
+
0
n — это степень тройки. Замечание справедливое с твоей стороны, поэтому поправил условие. Теперь справишься?
avatar

Mat-i-mat

  • 03 января 2012, 16:50
  • ↑
+
+1
выражение 2 сводиться к виду: 1+x+x^2+x^3+...+x^t,
где степень t=2+sum(2*3^n)
avatar

orix

  • 05 января 2012, 15:54
  • ↑
+
+1
а еще так:
1+sum(x*(x^t-1)/(x-1)), где степень t=2+sum(2*3^n)

sum(...) — обозначаю сумму ряда
avatar

orix

  • 05 января 2012, 16:12
  • ↑
+
0
1+sum(x*(x^t-1)/(x-1)), где степень t=2+sum(2*3^n)
Не совсем понятна запись. ЭТо 1 плюс сумма произведений х на дробь? Тогда почему не внести х в дробь? И почему 1 не представить как что-то в 0 степени? Возможно, подкорректировать t. В общем, сходу преобразовать не просто, поэтому пока за правильный ответ не считаю (не все упрощено, формально).
avatar

Mat-i-mat

  • 05 января 2012, 19:08
  • ↑
+
+1
и недомудрил, и перемудрил :), корректирую:
Выражение 2 сводиться к виду: 1+x+x^2+x^3+...+x^t,
где степень t=2+sum(2*3^Ni), где
sum(2*3^Ni) — сумма ряда всех членов Ni-тых, при Ni= от 1 до N.
При N=1, t=2+2*3^1=8
При N=2, t=2+(2*3^1+2*3^2)=26 и т.д.
К сумме ряда 2*3^N можно применить формулу рядя X^n, получим 2*3*(3^N-1)/(3-1) и найдем t.
Тогда t=2+3^(N+1)-3 = 3^(N+1)-1

Сумма ряда X, X^2, X^3,...,X^t в общем виде выглядит
как X*(X^t-1)/(X-1).
Значит все выражение будет сводиться к виду
1+X*(X^t-1)/(X-1), где t=3^(N+1)-1
avatar

orix

  • 06 января 2012, 11:02
  • ↑
+
0
Оно же (X^(t+1)-1)/(X-1), где t=3^(N+1)-1
avatar

orix

  • 06 января 2012, 11:06
  • ↑
+
+1
Итого:
(X^3^(N+1)-1)/(X-1)
avatar

orix

  • 06 января 2012, 11:09
  • ↑
+
0
ДА! Или (1-x^3^(n+1))/(1-x).
Ход моих рассуждений:
Так как (1-x)*(1+x+x^2)=1-x^3, то если умножить и поделить на (1-х) и «собрать» все разности кубов, то получим (1-x^3^(n+1))/(1-x).
avatar

Mat-i-mat

  • 09 января 2012, 11:19
  • ↑
+
0
так а в чем стало проще? где упрощение?
У меня другой подход, но увидев твой вариант, я думаю, можно с помощью дополнительного преобразования и из него получить правильное решение. Подумай теперь, как можно «упростить» полученный ряд. (кстати, есть уже готовые формулы для некоторых рядов ;)
Итог: еще не ответ, но на правильном пути.
avatar

Mat-i-mat

  • 05 января 2012, 18:55
  • ↑
+
0
страничка обновилась и увидел твой второй вариант. ОКазывается, уже подумал. У меня немного другой ответ (хотя, возможно, твой можно к нему привести) Но похожие моменты есть.
avatar

Mat-i-mat

  • 05 января 2012, 18:58
  • ↑

Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.