podumka

Пастух и козы

На поляне пасутся 150 коз. Поляна поделена изгородями на участки, причём на каждом пасётся несколько коз. Ровно в полдень каждая коза перепрыгнула со своего участка на соседний (все козы остались на поляне). Пастух подсчитал что на каждом участке количество коз изменилось ровно в 7 раз. Докажите, что он ошибся.

  • +5
  • 16 августа 2013, 16:23
  • Mikhail

Комментарии (15)

RSS свернуть / развернуть
+
0
Если условие задачи свести к минимуму и взять в рассмотрение 2-а участка, то можно предположить, что на 1-ом участке паслась 1-на коза, а на 2-ом 7-мь (тогда при переходе коз с участка на участок условие выполняется). При этом общее число коз равно 8-ми, а 150 на 8 не делится (и при пропорциональном увеличении 1:7 общее число коз получается 144 или 160, но не 150). Следовательно пастух ошибся. ЧТД
avatar

Spartacus

  • 18 августа 2013, 22:18
+
0
А якщо було не 1 і 7, а 7 і 7 кіз? А якщо було 3 ділянки, то кози з однієї ділянки могли піти вже на дві різні ділянки. Наприклад, на 1-ій 7, на 2-ій 2, на 3-ій 7. І при певному варіанті переходу умова в даному випадку може виконуватися. А якщо піти далі, то варіанти виходять складніші. Тому розв'язок невірний.
avatar

X-ray

  • 18 августа 2013, 23:31
+
0
Підкину ідею для розв'язку (сам його знайти не можу): якби кількість кіз після перестрибу змінилася у 7 разів, то кількість кіз на ділянках змінилася на число, кратне шести.
avatar

X-ray

  • 18 августа 2013, 23:46
+
0
І ще одне: для виконання умов задачі принаймні на одній ділянці кількість кіз має ділитися на 7 до переміщення кіз.
avatar

X-ray

  • 18 августа 2013, 23:51
+
0
Врахувавши вищевказані обмеження, отримуємо, що на найбільшій ділянці паслося 7х кіз, а усіх ділянок було не більше, ніж х.
avatar

X-ray

  • 19 августа 2013, 00:00
+
0
А якщо було не 1 і 7, а 7 і 7 кіз?
Данное предположение не верно, т.к. не выполняется условие, «что на каждом участке количество коз изменилось ровно в 7 раз»!
А якщо було 3 ділянки, то кози з однієї ділянки могли піти вже на дві різні ділянки. Наприклад, на 1-ій 7, на 2-ій 2, на 3-ій 7.
Это та же схема, которую я и предложил говоря про порциональное увеличение 1:7. В данном случае мы получаем 2:14(а 150 на 16 не делится). Так что все остальные схемы приведут к той же пропорции.
avatar

Spartacus

  • 19 августа 2013, 06:34
+
0
Можно попробовать через систему уравнений.
avatar

Spartacus

  • 19 августа 2013, 07:12
+
+1
З приводу першого коментаря згоден.
З приводу другого: так давайте, дерзайте! Я розраховую на вас, а деякі ідеї щодо розв'язку я вже підкинув.
avatar

X-ray

  • 19 августа 2013, 19:16
+
+1
Я прошу прощения, но не уловил ход ваших мыслей.
Если прибегнуть к решению уравнений, то количество коз на участках, где их число уменьшилось в 7 раз можно принять за Х, а на участках, где их количество увеличилось в 7 раз — за У. Тогда Х/7+7У=150, в то время как и Х+У=150. Получаем: Х/7+7У=Х+У, значит Х=7У(это та же пропорция о которой я говорил). Подставляем Х в ур-ние Х+У=150 и получаем 8У=150. А 150 на 8 не делится. Вроде так!
avatar

Spartacus

  • 19 августа 2013, 21:10
+
0
Дійсно, усе геніальне просто. Молодець!
А з приводу розмірковувань:
1) якщо кількість кіз збільшується/зменшується у 7 разів, то вона змінилася на 6 (наприклад, було 3 кіз, збільшилося у 7 разів, стало 21 — 21-3=18, що кратне шести);
2) принаймні на одній ділянці кількість кіз зменшилася усемеро, інакше на інших би не збільшилося, і навпаки. Отже, принаймні на одній із ділянок кількість кіз була кратна семи, якщо б умова задачі дійсно могла справджуватися.
avatar

X-ray

  • 19 августа 2013, 23:38
+
0
там написано Каждая коза перепрыгивае на соседний… значит что если одна коза перепрыгнет на соседний участок, то другая коза перепрыгнет на её место и т.десли они будут так прыгать то число их на участке не изменится
avatar

ANZHEJA

  • 07 июля 2014, 04:51
+
0
Не обязательно. Если у нас есть три последовательно соединённых участка, козы с двух несоседних участков могут перескочить на соседний, а козы с соседнего — на один из оставшихся, то есть на другом крайнем участке коз станет меньше, а на остальных — больше.
avatar

X-ray

  • 07 июля 2014, 22:54
+
0
на угловые участки могут прыгнуть максимум 6 коз, а если их там была пару… количество в 7 раз не изменится на угловых участках.
avatar

sna1l

  • 02 ноября 2015, 20:34
+
0
[текст доступен после регистрации]
[текст доступен после регистрации]
[текст доступен после регистрации]
avatar

osyvugy

  • 08 декабря 2015, 18:09
+
0
[текст доступен после регистрации]
[текст доступен после регистрации]
[текст доступен после регистрации]
avatar

akijy

  • 01 февраля 2016, 22:41

Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.